Vamos supor que você queira calcular $\phi^{10} = \left(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{10} $, sabendo que $\phi \approx 1,61 $. A ideia é achar um polinômio com coeficientes inteiros e uma das raízes iguais a $ \phi $. Então se
\[ \begin{align*} x = \phi = \dfrac{ 1+\sqrt{5}}{2} &\implies \\~\\ 2x -1 = \sqrt{5} &\implies \\~\\ 4x^2 -4x+1 = 5 &\implies \\~\\ x^2 = x+1 &\end{align*} \]Achamos $\phi^2$ em função de $\phi$. Observe que podemos multiplicar ambos os lados da equação por $x$, resultando em $x^3 = x^2+x = \left(x+1\right) +x = 2x+1$. Creio que você ja vê onde vamos chegar:
\[ \begin{align*} x^3 = 2x+1 &\implies \\~\\ x^5 = 2x^3+x^2 = 5x+3 &\implies \\~\\ x^{10} = 25x^2+30x+9 = 55x+34 & \\~\\ \end{align*} \]Então $\phi^{10} = 55\phi+34 \approx 55\cdot1,61+34 \approx 122,55$.
Obs: Você pode notar que $\phi^n = f_n\cdot \phi +f_{n-1}$ , onde $f_n$ é o enésimo termo da sequência de fibonacci
Complicando um pouco mais: qual o valor de $\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)^8$, sabendo que $\sqrt{2} \approx 1.414$ e $\sqrt{3} \approx 1.732$?
\[\begin{align*} x = \sqrt{2}+\sqrt{3} &\implies\\~\\ x^2 = 2+2\sqrt{6}+3 &\implies \\~\\ x^2-5 = 2\sqrt{6} &\implies \\~\\ x^4-10x^2+25 = 24 &\implies \\~\\ x^4 = 10x^2-1 \end{align*} \]Com o polinômio em mãos podemos elevar ambos os lados ao quadrado, obtendo $x^8 = 100x^4-20x^2+1 = 980x^2-99 $. Substituindo:
\[ \begin{align*} \left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)^8 &= 980\cdot\left(5+2\sqrt{6}\right) -99 \\~\\ &= 4900+1960\sqrt{6} -99 \\~\\ &\approx 4801+1960\cdot1.414\cdot1.732 \\~\\&\approx 9601 \end{align*} \]