Seja $\overline{a_{n}a_{n-1}\cdots a_{2}a_{1}}$ um número genérico. Temos que
\[ \begin{align*} \overline{a_{n}a_{n-1}\cdots a_{2}a_{1}} &= \displaystyle\sum_{i =0}^n \left( a_i\cdot10^{i-1}\right) \\~\\ &= \displaystyle\sum_{i =0}^n \left[ a_i\cdot(11 -1)^{i-1}\right] \\~\\ &\equiv \displaystyle\sum_{i =0}^n \left[ a_i\cdot(-1)^{i-1}\right] \mod (11) \\~\\ &\equiv a_1 -a_2+ \cdots+a_{n-1}\cdot(-1)^{n-2} +a_{n}\cdot(-1)^{n-1} \mod(11) \end{align*} \]Portanto um número só é múltiplo de 11 se essa soma alternada for múltipla de 11.