Seja $\overline{a_{n}a_{n-1}\cdots a_{2}a_{1}}$ um número genérico. Temos que
\[ \begin{align*} \overline{a_{n}a_{n-1}\cdots a_{2}a_{1}} &= \sum_{i = 2}^{n} 10^{i-1}\cdot a_i +a_1\\~\\ \end{align*}\]Multiplicando ambos os lados por 5, pois $5\cdot 10 = 50 \equiv 1 \mod(7)$:
\[ \begin{align*} 5\cdot\left(\overline{a_{n}a_{n-1}\cdots a_{2}a_{1}}\right) &= 5\cdot\sum_{i=2}^n 10^{i-1} \cdot a_i + 5a_1 \\~\\ &\equiv \sum_{i=2}^n 10^{i-2}\cdot 50 \cdot a_i -2\cdot a_1 \mod(7) \\~\\ &\equiv \sum_{i=2}^n 10^{i-2} \cdot a_i -2\cdot a_1 \mod(7) \\~\\ &\equiv \overline{a_{n}a_{n-1}\cdot a_{3}a_{2}} -2\cdot a_1 \mod(7) \end{align*}\]Como 5 é coprimo com 7, temos que um número é divisível por 7 se o número sem o primeiro dígito subtraído do dobro do primeiro dígito for divisível por 7.